拯救数学维度的庆功宴蛋糕还没吃完，回礼就来了——以最令人头皮发麻的方式。
第二天早上七点，整个校园被一阵规律的、如同节拍器般精确的敲门声吵醒。不是大门在响，而是每一扇门、每一面墙、甚至每个橱柜门都在同步敲击，节奏是完美的44拍。
“怎么回事？”林浅顶着乱发冲出房间，发现走廊墙上浮现出一个个发光的几何图案，每个图案都在有节奏地脉动，“是数学维度又崩溃了？”
苏璃的机械臂已经进入扫描模式：“不是崩溃。是……访问请求。数学维度派来了感谢代表团，坚持要"以最恰当的方式表达感激之情"。”
“最恰当的方式是吵醒所有人？”陈默穿着整齐地出现——他显然早就醒了，甚至可能没睡——手里拿着刚刚解码完毕的信息板，“代表团由三十七个几何体组成，包括七个柏拉图立体、十二个阿基米德立体、五个正多胞体，以及各种高维投影。他们预计三分钟后抵达。”
话音刚落，礼堂方向传来一阵如同风铃般清脆但异常规律的声响。当三人冲过去时，看到了一幅终生难忘的景象：
礼堂里站（漂浮旋转折叠）着三十七个几何体。最前面的是一个完美的正二十面体，表面光滑如镜，反射着彩虹般的光泽。它旁边是一个在三维空间中不断呈现不同截面的四维超立方体投影。后面跟着一串各种各样的多面体、曲面和分形结构，全都排列得整整齐齐，角度精确到小数点后十位。
正二十面体向前“滚”了一小段距离——它的移动方式是在地面上做完美的旋转，每次旋转角度都是黄金分割相关值——然后发出声音。不是说话声，而是一段优美的数学公式朗读，通过怀表实时翻译成他们能理解的语言：
“感激之情无法以常规度量衡量，故派遣本代表团实施"知识回馈计划"。我们将为每位学生提供一对一高等数学辅导，直至其数学能力达到本维度基础公民水平（注：基础公民水平约为贵维度数学博士后期标准）。”
林浅眨眨眼：“等等，你说……什么？”
一个漂亮的克莱因瓶飘过来——虽然它没有“内外”之分，但不知怎么还是给人一种“优雅鞠躬”的感觉——用一系列傅里叶级数表达道：“拯救之恩，当以提升拯救者之逻辑思维能力为报。此乃本维度最高礼节。”
“但我们有十二个学生，”苏璃试图理性沟通，“你们有三十七个……家教？这比例不对。”
正十二面体旋转着加入对话：“冗余为稳定性之保障。我们已根据每位学生的认知特点、能力倾向及潜在逻辑漏洞，分配了三至五名最适合的导师。例如，对于那位喷火生物——”
它转向刚揉着眼睛走进礼堂的小龙人，后者看到满屋子的几何体，吓得打了个喷嚏，喷出一串完美的等角螺线状火焰。
“——我们分配了微分几何专家、热力学方程模拟体、以及非欧几里得空间导航员。预计可在七十二小时内使其掌握基础微积分。”
小龙人的眼睛瞪得滚圆：“微……微什么？”
灾难，就此开始。
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上午八点，第一节“感谢数学课”在多功能教室（现在被艾拉薇丝固定成了标准的欧几里得空间教室）开始。
小龙人面前坐着三个几何体：一个能够展示各种曲面的双曲面模型，一个不断变化的热传导方程可视化体，以及一个专门讲笑话（数学笑话）来缓解焦虑的“幽默定理”。
“我们从极限开始，”双曲面用温柔的弧度说道，“考虑当x趋近于0时，函数sin(x)x的值……”
小龙人盯着那个函数图像，眼睛开始转圈圈：“我……我看不懂这些弯弯曲曲的线……”
热方程体立刻变形成一个动画：“想象你在喷火，火焰的温度分布随时间变化，这就是偏微分方程！很有趣对吧？”
“我想喷火，不想算火……”小龙人小声说，但被三个几何体充满期待（以几何体的方式）的“目光”盯着，只能硬着头皮开始学。
隔壁桌，艾拉薇丝遇到了她的噩梦。
她面前是五个几何体，为首的正是那个正二十面体。“首先，”它说，“我们必须纠正你对"证明"的理解。魔法咒语不是证明，即使押韵也不是。”
“然咒语之韵律蕴含宇宙之理！”艾拉薇丝抗议。
“那只是心理暗示，”一个专门研究数学心理学的分形结构说，“真正的证明需要公理、定义、逻辑推导。来，我们从集合论开始：什么是空集？”
艾拉薇丝举起魔杖：“空集即无物，如同未施法之杖——”
“错！”五个几何体同时发出纠正的哔哔声（频率构成一个和谐的和弦），“空集是一个集合，它没有元素，但它本身是存在的！这是基本概念！”
中世纪公主的脸皱成一团，她宁愿再去对付一头龙。
李星辰那边进展“顺利”——如果“顺利”指的是他和他的四个几何家教在十分钟内发明了三种新的数学符号，并且开始讨论如何用四维几何优化时空稳定器。
“看，”一个超立方体投影展示着它的内部结构，“如果你把这个维度这样折叠，传递效率可以提高π倍！”
“但需要考虑到能量流失的非线性特征，”李星辰兴奋地在空气中画着方程，“如果我们引入一个虚数时间轴——”
“然后用量子隧穿效应绕过奇点！”另一个专门研究量子数学的几何体加入。
他们聊得热火朝天，完全没注意到旁边的马克斯正在经历崩溃。
马克斯的家教是一个莫比乌斯带和一个克莱因瓶，它们坚持要从拓扑学开始教起。
“你飞行的路径，”莫比乌斯带说，一边优雅地扭转自己，“本质上是一个三维空间中的一维流形。如果我们考虑紧致性——”
“我只想直线飞！”马克斯哭丧着脸，“不要流形！不要紧致！”
克莱因瓶安慰（？）他：“但如果你理解了你所在空间的拓扑性质，你就能飞出更高效的轨迹！比如，如果你意识到这个教室实际上同胚于一个球面——”
“我要出去！”马克斯试图飞走，但由于恐高和紧张，他在空中画出了一个完美的混沌吸引子轨迹，然后卡在了吊灯和天花板之间。
双胞胎学生遇到了独特的麻烦：他们的家教是两个全等的四面体，坚持要教他们对称群理论。
“当你们互换位置时，”一个四面体说，“你们构成了一个二阶循环群。如果加上镜像对称，就是二面体群D2。”
“但如果我们同时出现在三个位置呢？”双胞胎之一问——他们昨天发现了在莫比乌斯带上换位的特殊效果。
两个四面体沉默（旋转）了三秒，然后突然开始高速旋转：“新现象！需要扩展群表示！这可能涉及三维旋转群SO(3)与某种未知变换的半直积！”
他们完全沉浸在数学发现中，忘了教学这回事。
水元素学生最惨——它的家教是专门研究流体动力学的纳维-斯托克斯方程可视化体，以及一个分形海岸线模型。
“你的形态变化，”方程体展示着一系列复杂的偏微分方程解，“可以用这些方程精确描述。来，我们推导一下。”
水元素试图变成一滩水溜走，但分形海岸线立刻构建了一个无限复杂的边界，把它困住了。
智者蕨倒是如鱼得水。它的家教是一个专门研究数学哲学的几何体，它们正在深入探讨“数学实在论与反实在论在跨维度语境下的适用性”。
“如果数学是独立于思维的客观存在，”哲学几何体说，形状在正多面体之间规律变化，“那么数学维度的居民比你们更"真实"吗？”
“但我们的感知塑造了我们理解的数学，”智者蕨的叶片沙沙作响，“也许存在一种辩证关系——”
其他学生投来羡慕嫉妒恨的目光。
唯一真正享受这个过程的是黑洞宝宝。它的五个家教包括了广义相对论专家、奇点理论专家、微分几何大师等等，他们正在讨论“如何用黎曼几何描述黑洞宝宝周围的时空曲率”。
“你的存在本身，”一个展示着爱因斯坦场方程解的几何体赞叹道，“就是一个行走的数学奇迹。你能感觉到施瓦西度规吗？”
“能，”黑洞宝宝快乐地弯曲着周围的时空，“就像被温暖的公式包裹着。”
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教师休息室里，林浅、苏璃和陈默通过监控看着这一切，表情复杂。
“所以，”林浅说，“我们拯救了一个维度，得到的回报是……我们的学生被数学折磨。”
苏璃的机械臂正在分析几何家教的数学水平：“他们的教学方法虽然……直接，但效率极高。按照这个进度，小龙人真的可能在三天内学会微积分基础。”
“但你看他的表情，”陈默指着屏幕，上面小龙人正对着一道极限题掉眼泪，“这像高效学习吗？这像精神折磨。”
林浅叹气：“但我们不能拒绝，这是"最高礼节"。而且……从教育角度看，这确实是难得的机会。只是……”
她话没说完，因为礼堂方向传来一声巨响和艾拉薇丝的尖叫。
三人冲过去，看到中世纪公主正用魔杖指着一个被烧焦的几何体——一个原本专门教她逻辑推理的正六面体，现在表面布满了焦痕。
“它说吾之魔法"不符合逻辑"！”艾拉薇丝气得头发都在发光，“吾便展示了何谓"魔法逻辑"！”
被烧焦的立方体发出委屈的嗡嗡声：“我只是指出她的"让苹果变成橘子"的咒语缺乏充分必要条件说明……”
其他几何体围了过来，不是生气，而是……好奇？
“这种能量释放模式，”一个研究非线性动力学的几何体凑近观察焦痕，“呈现出奇特的分岔结构。可否再演示一次？为了科学研究？”
艾拉薇丝愣住了。
而小龙人那边出现了突破。在尝试了无数次后，他终于在解一道导数题时，因为太激动而喷出了火焰——火焰在空中组成了完美的函数图像：f(x)=e^x。
“我做到了！”小龙人跳起来，“我用火画出了指数函数！”
他的三个家教高兴地旋转起来：“优秀！你对变化率的直观理解已经转化为数学表达！现在，考虑这个函数的导数——”
“还是它自己！”小龙人抢答，又喷出一道火焰，这次是f"(x)=e^x。
教室另一边，马克斯在克莱因瓶的指导下，终于理解了“同胚”的概念。他闭上眼睛，想象自己飞行的空间像橡皮泥一样可以拉伸扭曲但不断裂……然后他真的飞出了一个漂亮的、没有撞到任何东西的轨迹。
“我飞起来了！没有撞墙！”他兴奋地大喊。
“因为你现在理解了这个空间的拓扑性质，”克莱因瓶满意地说，“你知道哪里可以弯曲，哪里必须保持连续。”
就连水元素也开始用纳维-斯托克斯方程描述自己的形态变化，虽然它坚持要在方程里加上“心情参数”——“因为我流动的方式取决于我今天高不高兴！”
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下午四点，林浅召集所有几何家教开会。
“进展如何？”她问。
正二十面体作为代表回答：“超出预期。虽然初期存在认知阻抗，但学生们展现了惊人的适应能力。尤其是，他们将自身能力与数学概念结合的方式，启发了我们七个新的研究方向。”
“比如？”
“喷火生物将视觉化思维与函数表达结合；飞行生物将运动直觉与拓扑理解结合；水元素将流体感知与偏微分方程结合；魔法使用者甚至让我们开始思考"非公理化推理系统"的数学化可能性……”正二十面体的声音里带着明显（以几何体的标准）的兴奋，“我们请求延长教学计划！这不只是回礼，这是互惠！”
林浅看向苏璃和陈默，两人都微微点头。
“可以延长，”林浅说，“但有条件：不能影响其他课程，每天不超过三小时，而且要……有趣点。数学可以有趣，对吧？”
三十七个几何体沉默（旋转思考）了五秒。
“有趣……”正二十面体说，“我们研究过这个概念。在数学中，"有趣"通常指那些具有深度、美感或意外性的结果。我们可以尝试将教学与数学趣味性结合。”
“比如？”苏璃问。
一个一直没说话的几何体——一个专门研究数学游戏和谜题的“娱乐数学体”——飘上前：“我们可以设计数学寻宝游戏，用群论编码线索；或者举办分形绘画比赛；甚至可以用微分方程模拟龙与公主的战斗……”
艾拉薇丝和小龙人同时竖起耳朵。
于是，第二天的数学课变成了这样：
小龙人在迷宫里寻找宝藏，每道门都需要解一个导数题才能打开——他第一次主动要求学链式法则，因为“我想打开那个有亮光的门！”
艾拉薇丝和一组几何体进行“魔法与数学对决”，她用一个变换咒语，几何体们必须用矩阵变换描述它——双方都玩得不亦乐乎。
马克斯在拓扑地图上飞行，寻找“不同胚于圆盘的区域”——他飞出了有史以来最复杂的轨迹，而且一次都没撞墙。
水元素在模拟海洋中流动，用纳维-斯托克斯方程预测自己的路径——它成功预测了一个漩涡，感觉自己像个预言家。
李星辰和几何体们合作设计了一个新的跨维度通讯协议，基于四维空间的纤维丛理论。
甚至智者蕨都参与了“数学哲学辩论赛”，对手是三个专门研究数学基础的几何体，话题是“数学是被发现还是被发明”——辩论持续了三小时，最后以“两者同时成立，取决于你的元数学立场”结束。
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一周后，当几何家教团准备返回数学维度时，学生们居然有点舍不得。
“你们真的要走了吗？”小龙人问，他现在已经能心算简单积分了，“我刚刚学会用三重积分计算我喷出的火焰体积……”
“我们可以建立定期交流，”正二十面体说，“另外，我们注意到贵校似乎存在多个维度连接点。我们愿意提供数学优化方案，以提高跨维度通行的效率和安全系数。”
陈默立刻感兴趣：“具体来说？”
三十七个几何体同时开始投影各种公式、图表和模型，整个礼堂变成了一个巨大的数学展示馆。十分钟后，他们给出了一个完整的方案：如何用微分几何优化时空裂缝的稳定性，如何用拓扑学分类不同的维度连接，如何用群论管理访问权限……
“作为友谊的象征，”正二十面体最后说，“我们将免费提供第一期优化服务。预计可将跨维度事故率降低73.8%，并增加15个稳定的新维度连接点。”
林浅看着那些复杂的数学方案，又看看她那些已经从“数学恐惧”变成“数学好奇”的学生们，笑了。
“那么，”她说，“合作愉快？”
“合作愉快，”几何体们用一段优美的、由质数序列构成的和谐嗡鸣回答，“愿逻辑与美常在。”
他们离开了，通过一扇新优化的、闪烁着数学光芒的维度门。
礼堂恢复了安静，但墙上留下了一些发光的几何图案——家教的“告别礼物”，也是永久性的数学参考工具。
小龙人走到一面墙前，看着上面的傅里叶级数展开动画：“嘿，这个我会！这是把复杂波形拆成简单正弦波……”
艾拉薇丝研究着一个展示不同证明方法的交互图表：“吾发现，数学证明亦有如咒语般严谨之美。”
李星辰已经在新优化的维度门控制器前工作了：“他们留下了数学升级包！我可以改进我的所有设备了！”
林浅、苏璃和陈默相视一笑。
“所以，”苏璃说，“我们现在有了数学顾问团、优化的校园设施，和一群开始喜欢数学的问题学生？”
“以及，”陈默补充，“十五个新维度连接点需要探索和管理。”
林浅伸了个懒腰，看着礼堂里那些发光的数学之美，以及她那些奇形怪状但正在成长的学生们。
“好吧，”她说，“至少下次拯救世界时，我们能更准确地计算成功率了。”
窗外，数学维度的光芒渐渐消散，但校园里，一种新的、逻辑与创造力交织的光芒，正在悄然亮起。